Lie群の本を読む - mabonki0725の日記

ランニング30分英語できず

(1) 「曲がった空間の幾何学」宮岡礼子の14章 Lie群を読む。DeepMindのNeural Turing Machine がLie群上の多様体で実現しているとの主張をハーバードの論文がしているためにLie群を理解しようとする。

ネット上では数々の解説があるが、この本の記述は簡潔で理解しやすい。

　まず群の定義があり、Lie群の定義が記述されている。

群とは、結合法則があり単位元と逆元が存在する集合 ${G}$ のこと

　・結合法則： ${g \cdot (h \cdot k) = (g \cdot h) \cdot k \ \ \ \ g,h,k \in G}$

　・単位元 $e$ ： ${g \cdot e = g \ \ \ g,e \in G}$

　・逆元 $g^{-1}$ ： ${g \cdot g^{-1} = e \ \ \ g,g^{-1},e \in G}$

Lie群とは、

・群であり、

・連続で微分可能な写像 $\Phi$ によって多様体の構造を持つ

　　　　 ${\frac {d\Phi}{d \theta} = r}$

・写像 $\Phi$ の前と後の空間で演算結果がユニークである（対応関係がある）

　　　　 ${\Phi(\theta) = \Theta → \Phi(f(\theta)) = F(\Theta)}$

・写像は複素数を含めた行列で表現できる。

　ユークリッド空間以外の有名なLie群としては、回転群、ユニタリー群がある。

　回転群 ${ R(\theta) = \begin{pmatrix} cos\theta \ -sin\theta \\ sin\theta \ cos\theta \end{pmatrix} }$

ユニタリー群 ${U = \begin{pmatrix} \alpha \ -\beta \\ \beta \ \alpha \end{pmatrix}}$

　オイラー表示 ${e^{i\theta} = cos\theta + i \cdot sin\theta}$

DeepMindのモデルはこのLie群の対応関係によって、複雑なパターンを呼出すことができている。